POTENCIACIÓN

Es un conjunto de definiciones y teoremas que tratan el estudio de los exponentes y las relaciones que se dan entre ellos.

POTENCIACIÓN

Es una operación matemática tal que dado dos elementos uno llamado base y otro llamado exponente, mediante la operación se pretende buscar un tercer elemento llamada potencia. 

Se define así:

$ \fbox {$b^n=p$}$

Donde:

$b$: Base ($b \in {\mathbb {R}}$)

$n$: Exponente ($n \in {\mathbb {Z}}$)

$p$: Potencia ($p \in {\mathbb {R}}$)

DEFINICIONES

A) EXPONENTE NATURAL

se define en el exponente natural, el resultado de multiplicar un número llamado base por sí mismo, tantas veces como le indique el exponente.


$\fbox {$b^n=b \times b \times b \times \cdots \times b$.}$  
($b$ se multiplica $n$ veces, $n \in {\mathbb {N}}$)

$b^1=b$ (caso particular)

Ejemplo 1

Calcule la potencia de $9^2$

Resolución

$E_1=9^2$
$E_1=9\times9$
$E_1=81$

Luego podemos decir que

$9^2=81$



Ejemplo 2

Calcule la potencia de $5^4$

Resolución

$E_2=5^4$
$E_2=5\times5\times5\times5$
$E_2=625$

Luego podemos decir que

$5^4=625$



Ejemplo 3

Calcule la potencia de $(-2)^6$

Resolución

$E_3=(-2)^6$
$E_3=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)$
$E_3=64$

Luego podemos decir que

$(-2)^6=64$



Ejemplo 4

Calcule la potencia de $(-3)^5$

Resolución

$E_4=(-3)^5$
$E_4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)$
$E_4=-243$

Luego podemos decir que

$(-3)^5=-243$

B) EXPONENTE CERO

Dado una base $b$ no nula, elevado la base $b$ a la cero es igual a uno.

$ \fbox {$b^0=1$}$

(Para todo $b \neq 0$)

Ejemplos

• $4^0$

• $3^0=1$

• $(-4)^0=1$

• $\sqrt{2}^0$=1

Importante

$0^0$ no está definido

Ejemplo

Demuestre que $(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-1)^0$   no está definido

Resolución

$E=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-1)^0$
$E=(\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}-1)^0$
$E=(\frac{3+2+1}{6}-1)^0$
$E=(\frac{6}{6}-1)^0$
$E=(1-1)^0$
$E=(0)^0$
$E=$ no definido.

C) EXPONENTE NEGATIVO

Se define el exponente negativo, la potencia de un número con exponente negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo. Dicho de otra manera el exponente negativo invierte la base para luego multiplicarla tantas veces por sí mismo, tantas veces nos indique el exponente.

$ \fbox {$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$}$
(Para todo $b \neq 0$)

Ejemplo 1

Calcule la potencia de $3^{-2}$

Resolución

$E_1=3^{-2}$

$E_1=\frac{1}{3^2}$

$E_1=(\frac{1}{3})^2$

$E_1=(\frac{1}{3}) \times (\frac{1}{3})$

$E_1=\frac{1}{9}$

Entonces $3^{-2}=\frac{1}{9}$

Ejemplo 2

Calcule la potencia de $5^{-3}$

Resolución

$E_2=5^{-3}$

$E_2=\frac{1}{5^3}$

$E_2=(\frac{1}{5})^3$

$E_2=(\frac{1}{5}) \times (\frac{1}{5}) \times (\frac{1}{5})$

$E_2=\frac{1}{125}$

Entonces $5^{-3}=\frac{1}{125}$

Ejemplo 3

Calcule la potencia de $4^{-5}$

Resolución

$E_3=4^{-5}$

$E_3=\frac{1}{4^5}$

$E_3=(\frac{1}{4})^5$

$E_3=(\frac{1}{4}) \times (\frac{1}{4}) \times (\frac{1}{4}) \times (\frac{1}{4}) \times (\frac{1}{4})$

$E_3=\frac{1}{1024}$

Entonces $4^{-5}=\frac{1}{1024}$

Ejemplo 4

Calcule la potencia de $(\frac{1}{2})^{-5}$

Resolución

$E_4=(\frac{1}{2})^{-5}$

$E_4=2^5$

$E_4=2\times2\times2\times2\times2$

$E_4=32$

Entonces $(\frac{1}{2})^{-5}=32$

TEOREMAS SOBRE POTENCIACIÓN

1. A producto de bases iguales, se pone la misma base y se suman los exponentes.

$\fbox {$b^m \times b^n=b^{m+n}$}$

Ejemplo 1

Calcule el resultado de multiplicar $3^7$  y  $3^2$

Resolución

$E_1=3^7 \times 3^2$

$E_1=3^{7+2}$

$E_1=3^9$

$E_1=19683$

Entonces

$3^7\times3^2=3^9=19683$

2. A una división de bases iguales, se pone la misma base y se restan los exponentes.

$\fbox {$\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$}$

(Para todo $b$ no nulo)

Ejemplo 2

Calcule el resultado de dividir $5^8$  y  $5^6$

Resolución

$E_2=\frac{5^8}{5^6}$

$E_2=5^{8-6}$

$E_2=5^2$

$E_2=25$

Entonces

$\frac{5^8}{5^6}=5^2=25$

3. A una potencia de otra potencia, se pone la misma base y se multiplican los exponentes.

$\fbox {$(b^m)^n=b^{m\times n}$}$

Ejemplo 3

Calcule el resultado de  $(3^2)^4$

Resolución

$E_3=(3^2)^4$

$E_3=$$(3)^{2\times4}$

$E_3=3^8$

$E_3=6561$

Entonces

$(3^2)^4=3^8=6561$

4. A la potencia de una multiplicación, quedará elevada cada factor a la misma potencia.

$\fbox {$(a\times b)^n=a^n\times b^n$}$

Ejemplo 3

Calcule el resultado de  $(2\times5)^3$

Resolución

$E_3=(2\times5)^3$

$E_3=2^3\times5^3$

$E_3=8\times125$

$E_3=1000$

Entonces

$(2\times5)^3=2^3\times5^3=1000$

5. A la potencia de una división, quedará elevada tanto el numerador como el denominador a la misma potencia.

$\fbox {$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$}$

(Para todo $b \neq 0$)

Ejemplo 4

Calcule el resultado de  $(\frac{3}{5})^4$

Resolución

$E_4=(\frac{3}{5})^4$

$E_4=\frac{3^4}{5^4}$

$E_4=\frac{81}{625}$

A continuación puede evaluarse usted mismo.

Para eso tenemos el siguiente enlace. Examen

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