En matemática los polinomios se suelen ver de manera segmentada debido a su complejidad y amplia uso dentro del calculo y la misma geometría para determinar el área o volumen de ciertas figuras.
Ejemplo
Si queremos hallar el área de un jardín de nuestra casa, tenemos que saber las dimensiones del ancho y largo, si no lo sabemos ya serían dos variables en la fórmula que vamos a usar para hallar su respectiva área.
Sabemos que el área $(A)$ de un rectángulo es igual a la multiplicación de su base $(b)$ por su altura $(h)$, es decir.
$\fbox{$A=(b) \times (h)$}$
Ejemplo
Calcule el área del siguiente rectángulo.
Resolución
$A=(b) \times (h)$
$A=(12cm) \times (8cm)$
$A=96cm^2$
La representación simbólica que nos permite reconocer cuál es la variable de un polinomio se denomina notación matemática.
Ejemplo
$A_{(b;h)}=b \times h$, tiene como variables a $b$ y $h$.
A continuación estudiaremos polinomios de una variable, por ser de vital importancia dentro del curso de álgebra.
POLINOMIOS DE UNA SOLA VARIABLE
Forma general
$P_{(x)}=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n}$
donde $n \in \mathbb {Z^+}$
Ejemplos
$P_{(x)}=4x^3+2x^2+5x+6$
$P_{(x)}=x^5+2x^3+5x^2+3x+4$
POLINOMIO LINEAL (Afín)
$\fbox{$P_{(x)}=ax+b$}$;$a\neq0$
Ejemplos
$P_{(x)}=3x+4$
$Q_{(x)}=x+7$
$R_{(x)}=2x-5$
$S_{(x)}=-5x$
POLINOMIO CUADRÁTICO
$\fbox{$P_{(x)}=ax^2+bx+c$}$; $a\neq0$
Ejemplos
$P_{(x)}=5x^2+3x+9$
$Q_{(x)}=3x^2-x+2$
$R_{(x)}=x^2+3x+5$
$S_{(x)}=-x^2+1$
POLINOMIO CÚBICO
$ \fbox{$P_{(x)}=ax^3+bx^2+cx+d$}$; $a\neq0$
Ejemplos
$P_{(x)}=x^3+2x^2+4x+3$
$Q_{(x)}=x^3+2x^2+4x+1$
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO DE UN AVARIABLE
Sea $P_{(x)}=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n}$
donde $n \in \mathbb {Z^+}$
El valor numérico de $P_{(x)}$, cunado $x=k$, es
$P_{(k)}=a_0k^n+a_1k^{n-1}+a_2k^{n-2}+...+a_{n}$
Sea $P_{(x)}=3x^2+4x+4$, calcule el valor numérico de $P_{(x)}$, cuando $x=2$.
RESOLUCIÓN
Como $x=2$, entonces reemplazando en $P_{(x)}$.
$P_{(2)}=3(2)^2+4(2)+4$
$P_{(2)}=12+8+4$
$P_{(2)}=24$.
Ejemplo 2
Sea $P_{(x)}=x^3+x+1$, calcule el valor numérico de $P_{(x)}$, cuando $x=4$.
$P_{(4)}=(4)^3+(4)+1$
$P_{(4)}=64+4+1$
$P_{(4)}=69$
Ejercicio
Sea $P_{(x)}=x^2+2x+4$, calcule el valor numérico de $P_{(x)}$, cuando $x= \sqrt 5-1$.
¡¡¡PARA EL ALUMNO¡¡¡
PROPIEDADES
Si $P_{(x)}$ es un polinomio, entonces
$\fbox{$Suma \ de \ coeficientes=P_{(1)}$}$
$\fbox{$ Término \ independiente=P_{(0)}$}$
Ejemplo 1
Sea $P_{(x)}=5(x+2)(x+1)$, determine la suma de coeficientes y el término independiente.
Resolución
$P_{(x)}=5(x+2)(x+1)$
Usando propiedades
$Suma\ de\ coeficiente=P_{(1)}$
$P_{(1)}=5((1)+2)((1)+1)$
$P_{(1)}=5(3)(2)$
$P_{(1)}=30$
$Término\ independiente=P_{(0)}$
$P_{(0)}=5((0)+2)((0)+1)$
$P_{(0)}=5(2)(1)$
$P_{(0)}=10$
Ejemplo 2
Determine la suma de coeficientes del siguiente polinomio
$P_{(x)}=(x-1)^{10}+(x-2)^{11}+x^3+5$
Resolución
$P_{(x)}=(x-1)^{10}+(x-2)^{11}+x^3+5$
Usando propiedades
$Suma\ de\ coeficiente=P_{(1)}$
$P_{(1)}=((1)-1)^{10}+((1)-2)^{11}+(1)^3+5$
$P_{(1)}=(0)^{10}+(-1)^{11}+(1)+5$
$P_{(1)}=(0)+(-1)+(1)+5$
$P_{(1)}=5$
Ejemplo 3
Sea el polinomio
$P_{(x)}=(x+2)^5+(x-1)(x-2)(x-3)+6$
Resolución
$Término\ independiente=P_{(0)}$
$P_{(0)}=(0+2)^5+(0-1)(0-2)(0-3)+6$
$P_{(0)}=(2)^5+(-1)(-2)(-3)+6$
$P_{(0)}=(32)+(-6)+6$
$P_{(0)}=32$
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