DIVISIÓN DE POLINOMIOS

DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS

Es aquella operación matemática que consiste en dividir dos polinomios de grados no nulos, llamados dividendo $D_{(x)}$ y divisor $d_{(x)}$, efectuar la división consiste en hallar otros dos polinomios llamados cociente $q_{(x)}$ y residuo $R_{(x)}$, de tal manera que se cumple el siguiente algoritmo (IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN)

$\fbox{$D_{(x)}=d_{(x)} \times q_{(x)}+R_{(x)}$}$ 

Donde:

$°[D_{(x)}] \geq °[d_{(x)}]$

$°[d_{(x)}] > °[R_{(x)}]$

Observación

Si $R_{(x)}=0$, entonces $\frac{D_{(x)}}{d_{(x)}}$ es exacta.

Ejemplo

Dada la división exacta

$$\frac{x^6+kx^2+2k+2}{x-2}$$

halle el valor de $k$.

RESOLUCIÓN

Usando la identidad fundamental de la división de polinomios o también conocida como el algoritmo de Euclides.

MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS

Para dividir dos polinomios (dividendo y divisor), ambos deben ser completos y ordenados en forma decreciente con respecto a los exponentes de su variable $x$.

MÉTODO DE HORNER

Es un método general para dividir polinomios de cualquier grado.

Explicaremos con un ejemplo

Luego de efectuar la siguiente división

$$\frac{10x^5+3x^4-17x^3-x^2-5}{3x^2+2x^3-x-2}$$

determine el cociente $q_{(x)}$ y el residuo $R_{(x)}$.

RESOLUCIÓN

Efectuando la división por el método de Horner.

REGLA DE RUFFINI

Es un caso particular del método de Horner. Se aplica cuando el polinomio divisor es lineal ($d_{(x)}=ax+b; a \neq 0$). 

Explicaremos con un ejemplo

En la siguiente división algebraica

$$\frac{12x^4-10x^3+18x^2-16x+3}{2x-1}$$

determine el cociente $q_{(x)}$ y el residuo $R_{(x)}$.

RESOLUCIÓN

Efectuando la división por la regla de Ruffini.

TEOREMA DE DESCARTES (TEOREMA DEL RESTO)

Se usa para determinar el residuo de manera directa, sin necesidad de efectuar la división.
$$\fbox{$\frac{P_{(x)}}{ax+b} \rightarrow R_{(x)}=P_{(- \frac{b}{a})}$}$$

Ejemplo

Dada la división
$$\frac{(2x-9)^4+(3x-16)^2+x+k}{x-5}$$
calcule el valor de $k$ si la división tiene como resto $15$.

RESOLUCIÓN

Usando el teorema del resto, tenemos

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