Es un conjunto de definiciones y teoremas que tratan el estudio de los exponentes y las relaciones que se dan entre ellos.
RADICACIÓN
Es una operación matemática, dado dos elementos uno llamado Radicando o cantidad sub radical y otro llamado índice, mediante la operación se buscar un tercer elemento llamada Raíz.
Ejemplo básicos
La raíz cuadrad de algunos números enteros positivos
$2^2=4--->\sqrt {4}=2$
$3^2=9--->\sqrt {9}=3$
$4^2=16--->\sqrt {16}=4$
$5^2=25--->\sqrt {25}=5$
$6^2=36--->\sqrt {36}=6$
La raíz cúbica de algunos números enteros positivos
$2^3=8--->\sqrt [3]{8}=2$
$3^3=27--->\sqrt [3]{27}=3$
$4^3=64--->\sqrt [3]{64}=4$
$5^3=125--->\sqrt [3]{125}=5$
$6^3=216--->\sqrt [3]{216}=6$
$7^3=343--->\sqrt [3]{343}=7$
DEFINICIÓN MATEMÁTICA
$\fbox{$\sqrt [n]{a}=r \leftrightarrow r^n=a$}$
Donde:
Donde: $n$ es el índice, $a$ es el radicando y $r$ es la raíz (única en los reales).
Además:
$n\in \mathbb{N}$, $n\geq2$ y $a, r\in \mathbb{R}$
Para que la raíz sea única, está debe tener el mismo signo del radicando, por definición de radicación en los reales.
Ejemplo
$\sqrt [4]{16}=2\leftrightarrow 2^4=16$
EXPONENTE FRACCIONARIO
sea $\frac{m}{n}$ una fracción irreductible, se define la base $b$ elevado al exponente $\frac{m}{n}$ como la raíz $n$ de $b$ elevado a la $m$. (considere que $\sqrt[n]{b}$ esta bien definido en los reales).
$\fbox{$b^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{b^m}=(\sqrt[n]{b})^m$}$
Ejemplo
$32^\frac{4}{5}=\sqrt[5]{32^4}=(\sqrt[5]{32})^4=2^4=16$
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Si $\sqrt[n]{a}$ y $\sqrt[n]{b}$ están bien definidas en los reales, entonces se cumple los siguientes teoremas.
Propiedad 1
$\fbox{$\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$}$
Ejemplo
$\sqrt[5]{16} \times \sqrt[5]{2}=\sqrt[5]{16 \times 2}=\sqrt[5]{32}=2$
Propiedad 2
$\fbox{$\frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$}$
Ejemplo
$\frac{\sqrt[3]{24}}{ \sqrt[3]{-3}}=\sqrt[3]{\frac{24}{-3}}=\sqrt[3]{-8}=-2$
Propiedad 3
$\fbox{$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\times n]{a}$}$
Ejemplo
$\sqrt[3]{\sqrt[5]{9}}=\sqrt[3\times 5]{9}$
Propiedad 4
$\fbox{$\sqrt[n \times k]{a^{m \times k}} =\sqrt[n]{a^m}$}$
Ejemplo
$\sqrt[3 \times 4]{2^{7 \times 4}} =\sqrt[3]{2^7}$
Propiedad 5
$\fbox{$\sqrt[n]{a^n}$}$ Tiene dos casos
Caso 1
Si $n$ es impar
$\fbox{$\sqrt[n]{a^n} =a$}$
Ejemplo
$\sqrt[3]{5^3} =5$
Caso 2
Si $n$ es par
$\fbox{$\sqrt[n]{a^n} =\mid a \mid $}$
Ejemplo
$\sqrt[4]{(-3)^4} =\mid -3 \mid =3$
OBSERVACIONES
Ejemplo
$\sqrt[3]{5\sqrt{7}}=\sqrt[3]{5} \times \sqrt[3 \times 2]{7}$
Ejemplo
$\sqrt[3]{x^2 \sqrt[5]{x^3 \sqrt[4]{x^3}}}=x^(\frac{(2\times5+3)\times4+3}{3\times5\times4})$
También
En general
CONTÁCTENOS POR:
La raíz cuadrad de algunos números enteros positivos
$2^2=4--->\sqrt {4}=2$
$3^2=9--->\sqrt {9}=3$
$4^2=16--->\sqrt {16}=4$
$5^2=25--->\sqrt {25}=5$
$6^2=36--->\sqrt {36}=6$
La raíz cúbica de algunos números enteros positivos
$2^3=8--->\sqrt [3]{8}=2$
$3^3=27--->\sqrt [3]{27}=3$
$4^3=64--->\sqrt [3]{64}=4$
$5^3=125--->\sqrt [3]{125}=5$
$6^3=216--->\sqrt [3]{216}=6$
$7^3=343--->\sqrt [3]{343}=7$
DEFINICIÓN MATEMÁTICA
$\fbox{$\sqrt [n]{a}=r \leftrightarrow r^n=a$}$
Donde:
Donde: $n$ es el índice, $a$ es el radicando y $r$ es la raíz (única en los reales).
Además:
$n\in \mathbb{N}$, $n\geq2$ y $a, r\in \mathbb{R}$
Para que la raíz sea única, está debe tener el mismo signo del radicando, por definición de radicación en los reales.
Ejemplo
$\sqrt [4]{16}=2\leftrightarrow 2^4=16$
EXPONENTE FRACCIONARIO
sea $\frac{m}{n}$ una fracción irreductible, se define la base $b$ elevado al exponente $\frac{m}{n}$ como la raíz $n$ de $b$ elevado a la $m$. (considere que $\sqrt[n]{b}$ esta bien definido en los reales).
$\fbox{$b^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{b^m}=(\sqrt[n]{b})^m$}$
Ejemplo
$32^\frac{4}{5}=\sqrt[5]{32^4}=(\sqrt[5]{32})^4=2^4=16$
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Si $\sqrt[n]{a}$ y $\sqrt[n]{b}$ están bien definidas en los reales, entonces se cumple los siguientes teoremas.
Propiedad 1
$\fbox{$\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$}$
Ejemplo
$\sqrt[5]{16} \times \sqrt[5]{2}=\sqrt[5]{16 \times 2}=\sqrt[5]{32}=2$
Propiedad 2
$\fbox{$\frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$}$
Ejemplo
$\frac{\sqrt[3]{24}}{ \sqrt[3]{-3}}=\sqrt[3]{\frac{24}{-3}}=\sqrt[3]{-8}=-2$
Propiedad 3
$\fbox{$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\times n]{a}$}$
Ejemplo
$\sqrt[3]{\sqrt[5]{9}}=\sqrt[3\times 5]{9}$
Propiedad 4
$\fbox{$\sqrt[n \times k]{a^{m \times k}} =\sqrt[n]{a^m}$}$
Ejemplo
$\sqrt[3 \times 4]{2^{7 \times 4}} =\sqrt[3]{2^7}$
Propiedad 5
$\fbox{$\sqrt[n]{a^n}$}$ Tiene dos casos
Caso 1
Si $n$ es impar
$\fbox{$\sqrt[n]{a^n} =a$}$
Ejemplo
$\sqrt[3]{5^3} =5$
Caso 2
$\fbox{$\sqrt[n]{a^n} =\mid a \mid $}$
Ejemplo
$\sqrt[4]{(-3)^4} =\mid -3 \mid =3$
OBSERVACIONES
- $\fbox{$(\sqrt[n]{a})^n =a$}$
Ejemplo
$(\sqrt[3]{2})^3 =2$
$(\sqrt[3]{2})^3 =2$
- $\fbox{$\sqrt[m]{a\sqrt[n]{b}}=\sqrt[m]{a} \times \sqrt[m \times n]{b}$}$
Ejemplo
$\sqrt[3]{5\sqrt{7}}=\sqrt[3]{5} \times \sqrt[3 \times 2]{7}$
- $\fbox{$\sqrt[m]{x^a \sqrt[n]{x^b \sqrt[p]{x^c}}}=x^(\frac{(an+b)p+c}{mnp})$}$
Ejemplo
$\sqrt[3]{x^2 \sqrt[5]{x^3 \sqrt[4]{x^3}}}=x^(\frac{(2\times5+3)\times4+3}{3\times5\times4})$
También
- $x^{2}=2\leftrightarrow x=\sqrt{2}$
- $x^{x^{2}}=2\leftrightarrow x=\sqrt{2}$
- $x^{x^{x^{2}}}=2\leftrightarrow x=\sqrt{2}$
En general
- $\fbox{$x^{x^{x^{\vdots^{x^n}}}}=n\leftrightarrow x=\sqrt[n]{n}$}$
CONTÁCTENOS POR:
948872068
