Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Wikipedia
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
Multiplicación de dos binomios con un término común
El producto de multiplicar dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común, mas la suma de los términos no comunes multiplicada por el término común y más el producto de los no comunes.
$(x+a).(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
Ejemplo 1
Sean los factores $(x+2)$ y $(x+3)$, calcule su producto.
Resolución
$E_1=$ $(x+2)(x+3)$
$E_1=$ $x^2+(2+3)x+(2)(3)$
$E_1=$ $x^2+5x+6$
$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$
Ejemplo 2
Sean los factores $(x+5)$ y $(x+4)$, calcule su producto.
Resolución
$E_2=$ $(x+5)(x+4)$
$E_2=$ $x^2+(5+4)x+(5)(4)$
$E_2=$ $x^2+9x+20$
$(x+5)(x+4)=x^2+9x+20$
Ejemplo 3
Sean los factores $(x-6)$ y $(x-7)$, calcule su producto.
Resolución
$E_3=$ $(x-6)(x-7)$
$E_3=$ $x^2+(-6+-7)x+(-6)(-7)$
$E_3=$ $x^2-13x+42$
$(x-6)(x-7)=x^2-13x+42$
Ejemplo 4
Sean los factores $(x-2)$ y $(x-5)$, calcule su producto.
Resolución
$E_4=$ $(x-2)(x-5)$
$E_4=$ $x^2+(-2+-5)x+(-2)(-5)$
$E_4=$ $x^2-7x+10$
$(x-2)(x-5)=x^2-7x+10$
Trinomio cuadrado perfecto o desarrollo de un binomio al cuadrado
El producto de un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer termino, más el doble del producto del primero más el segundo y más el cuadrado del segundo.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Importante
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Importante
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Ejemplo 1
Sea el factor doble $(x+3)^2$, calcule su producto
Resolución
$E_1=(x+3)^2$
$E_1=x^2+2(x)(3)+(3)^2$
$E_1=x^2+6x+9$
Por lo tanto
$(x+3)^2=x^2+6x+9$
Ejemplo 2
Sea el factor doble $(x+4)^2$, calcule su producto
Resolución
$E_2=(x+4)^2$
$E_2=x^2+2(x)(4)+(4)^2$
$E_2=x^2+8x+16$
Por lo tanto
$(x+4)^2=x^2+8x+16$
Ejemplo 3
Sea el factor doble $(x-2)^2$, calcule su producto
Resolución
$E_3=(x-2)^2$
$E_3=x^2-2(x)(2)+(2)^2$
$E_3=x^2-4x+4$
Por lo tanto
$(x-2)^2=x^2-4x+4$
Ejemplo 4
Sea el factor doble $(x-5)^2$, calcule su producto
Resolución
$E_4=(x-5)^2$
$E_4=x^2-2(x)(5)+(5)^2$
$E_4=x^2-10x+25$
Por lo tanto
$(x-5)^2=x^2-10x+25$
Sea el factor doble $(x+3)^2$, calcule su producto
Resolución
$E_1=(x+3)^2$
$E_1=x^2+2(x)(3)+(3)^2$
$E_1=x^2+6x+9$
Por lo tanto
$(x+3)^2=x^2+6x+9$
Ejemplo 2
Sea el factor doble $(x+4)^2$, calcule su producto
Resolución
$E_2=(x+4)^2$
$E_2=x^2+2(x)(4)+(4)^2$
$E_2=x^2+8x+16$
Por lo tanto
$(x+4)^2=x^2+8x+16$
Ejemplo 3
Sea el factor doble $(x-2)^2$, calcule su producto
Resolución
$E_3=(x-2)^2$
$E_3=x^2-2(x)(2)+(2)^2$
$E_3=x^2-4x+4$
Por lo tanto
$(x-2)^2=x^2-4x+4$
Ejemplo 4
Sea el factor doble $(x-5)^2$, calcule su producto
Resolución
$E_4=(x-5)^2$
$E_4=x^2-2(x)(5)+(5)^2$
$E_4=x^2-10x+25$
Por lo tanto
$(x-5)^2=x^2-10x+25$
Diferencia de cuadrados
El producto de la suma de dos números multiplicada por la diferencia de los mismos es igual a la diferencia de sus cuadrados, es decir
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
Ejemplo 1
Sean los factores $(x+3)$ y $(x-3)$, calcule su producto.
Resolución
$E_1=(x+3)(x-3)$
$E_1=x^2-3^2$
$E_1=x^2-9$
Por lo tanto
$(x+3)(x-3)=x^2-9$
Ejemplo 2
Sean los factores $(x+5)$ y $(x-5)$, calcule su producto.
Resolución
$E_2=(x+5)(x-5)$
$E_2=x^2-5^2$
$E_2=x^2-25$
Por lo tanto
$(x+5)(x-5)=x^2-25$
Ejemplo 3
Sean los factores $(x+7)$ y $(x-7)$, calcule su producto.
Resolución
$E_3=(x+7)(x-7)$
$E_3=x^2-7^2$
$E_3=x^2-49$
Por lo tanto
$(x+7)(x-7)=x^2-49$
Ejemplo 4
Sean los factores $(x+10)$ y $(x-10)$, calcule su producto.
Resolución
$E_4=(x+10)(x-10)$
$E_4=x^2-10^2$
$E_4=x^2-100$
Por lo tanto
$(x+10)(x-10)=x^2-100$
Sean los factores $(x+3)$ y $(x-3)$, calcule su producto.
Resolución
$E_1=(x+3)(x-3)$
$E_1=x^2-3^2$
$E_1=x^2-9$
Por lo tanto
$(x+3)(x-3)=x^2-9$
Ejemplo 2
Sean los factores $(x+5)$ y $(x-5)$, calcule su producto.
Resolución
$E_2=(x+5)(x-5)$
$E_2=x^2-5^2$
$E_2=x^2-25$
Por lo tanto
$(x+5)(x-5)=x^2-25$
Ejemplo 3
Sean los factores $(x+7)$ y $(x-7)$, calcule su producto.
Resolución
$E_3=(x+7)(x-7)$
$E_3=x^2-7^2$
$E_3=x^2-49$
Por lo tanto
$(x+7)(x-7)=x^2-49$
Ejemplo 4
Sean los factores $(x+10)$ y $(x-10)$, calcule su producto.
Resolución
$E_4=(x+10)(x-10)$
$E_4=x^2-10^2$
$E_4=x^2-100$
Por lo tanto
$(x+10)(x-10)=x^2-100$
Desarrollo de un binomio al cubo
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
Ejemplo 1
Sea el factor triple $(x+2)^3$, calcule su producto.
Resolución
$E_1=(x+2)^3$
$E_1=(x)^3+3(x)^2(2)+3(x)(2)^2+(2)^3$
$E_1=x^3+6x^2+12x+8$
Por lo tanto
$(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$
Ejemplo 2
Sea el factor triple $(x+5)^3$, calcule su producto.
Resolución
$E_2=(x+5)^3$
$E_2=(x)^3+3(x)^2(5)+3(x)(5)^2+(5)^3$
$E_3=x^3+15x^2+75x+125$
Por lo tanto
$(x+5)^3=x^3+15x^2+75x+125$
Ejemplo 3
Sea el factor triple $(x-4)^3$, calcule su producto.
Resolución
$E_3=(x-4)^3$
$E_3=(x)^3-3(x)^2(4)+3(x)(4)^2-(4)^3$
$E_3=x^3-12x^2+48x-64$
Por lo tanto
$(x-4)^3=x^3-12x^2+48x-64$
Ejemplo 4
Sea el factor triple $(x-7)^3$, calcule su producto.
Resolución
$E_4=(x-7)^3$
$E_4=(x)^3-3(x)^2(7)+3(x)(7)^2-(7)^3$
$E_4=x^3-21x^2+147x-343$
Por lo tanto
$(x-7)^3=x^3-21x^2+147x-343$
Suma y diferencia de cubos
Sea el factor triple $(x+2)^3$, calcule su producto.
Resolución
$E_1=(x+2)^3$
$E_1=(x)^3+3(x)^2(2)+3(x)(2)^2+(2)^3$
$E_1=x^3+6x^2+12x+8$
Por lo tanto
$(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$
Ejemplo 2
Sea el factor triple $(x+5)^3$, calcule su producto.
Resolución
$E_2=(x+5)^3$
$E_2=(x)^3+3(x)^2(5)+3(x)(5)^2+(5)^3$
$E_3=x^3+15x^2+75x+125$
Por lo tanto
$(x+5)^3=x^3+15x^2+75x+125$
Ejemplo 3
Sea el factor triple $(x-4)^3$, calcule su producto.
Resolución
$E_3=(x-4)^3$
$E_3=(x)^3-3(x)^2(4)+3(x)(4)^2-(4)^3$
$E_3=x^3-12x^2+48x-64$
Por lo tanto
$(x-4)^3=x^3-12x^2+48x-64$
Ejemplo 4
Sea el factor triple $(x-7)^3$, calcule su producto.
Resolución
$E_4=(x-7)^3$
$E_4=(x)^3-3(x)^2(7)+3(x)(7)^2-(7)^3$
$E_4=x^3-21x^2+147x-343$
Por lo tanto
$(x-7)^3=x^3-21x^2+147x-343$
Suma y diferencia de cubos
$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
Ejemplo 1
Sean los factores $(x+3)$ y $(x^2-3x+9)$, calcule su producto.
Resolución
$E_1=(x+3)(x^2-3x+9)$
Se puede escribir de la siguiente manera
Como cumple las condiciones para generar un producto notable de suma de cubos, tenemos
$E_1=x^3+3^3$
$E_1=x^3+27$
Por lo tanto
$(x+3)(x^2-3x+9)=x^3+27$
Ejemplo 2
Sean los factores $(x+5)$ y $(x^2-5x+25)$, calcule su producto.
Resolución
$E_2=(x+5)(x^2-5x+25)$
Se puede escribir de la siguiente manera
Como cumple las condiciones para generar un producto notable de suma de cubos, tenemos
$E_2=x^3+5^3$
$E_2=x^3+125$
Por lo tanto
$(x+5)(x^2-5x+25)=x^3+125$
Ejemplo 3
Sean los factores $(x-2)$ y $(x^2+2x+4)$, calcule su producto.
Resolución
$E_3=(x-2)(x^2+2x+4)$
Se puede escribir de la siguiente manera
Como cumple las condiciones para generar un producto notable de diferencia de cubos, tenemos
$E_3=x^3-2^3$
$E_3=x^3-8$
Por lo tanto
$(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8$
Ejemplo 4
Sean los factores $(x-6)$ y $(x^2+6x+36)$, calcule su producto.
Resolución
$E_4=(x-6)(x^2+12x+36)$
Se puede escribir de la siguiente manera
Como cumple las condiciones para generar un producto notable de diferencia de cubos, tenemos
$E_4=x^3-6^3$
$E_4=x^3-216$
Por lo tanto
$(x-6)(x^2+12x+36)=x^3-216$
Desarrollo de un trinomio al cuadrado
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$
Ejemplo 1
Sea el factor doble $(x+y+2)^2$, calcule su producto.
Resolución
$E_1=(x+y+2)$
$E_1=(x)^2+(y)^2+(2)^2+2[(x)(y)+(2)(x)+(2)(y)]$
$E_1=y^2+y^2+4+2[xy+2x+2y]$
Por lo tanto
$(x+y+2)^2=x^2+y^2+4+2[xy+2x+2y]$
Ejemplo 2
Sea el factor doble $(x-y+3)^2$, calcule su producto.
Resolución
$E_2=(x-y+3)$
$E_2=(x)^2+(-y)^2+(3)^2+2[(x)(-y)+(3)(x)+(3)(-y)]$
$E_2=y^2+y^2+9+2[-xy+3x-3y]$
Por lo tanto
$(x-y+3)^2=x^2+y^2+9+2[-xy+3x-3y]$
Desarrollo de un trinomio al cubo
$(a+b+c)^3=$
$a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+ac+bc)-3abc$
Ejemplo 1
Sea el factor triple $(x+y+2)^3$, calcule su producto.
Resolución
$E_1=(x+y+2)^3$
$E_1=x^3+y^3+2^3+3(x+y+2)(xy+2x+2y)-3xy2$
$E_1=x^3+y^3+8+3(x+y+2)(xy+2x+2y)-6xy$
Por lo tanto
$(x+y+2)^3=x^3+y^3+8+3(x+y+2)(xy+2x+2y)-6xy$
Ejemplo 2
Sea el factor triple $(x+5+z)^3$, calcule su producto.
Resolución
$E_2=(x+5+z)^3$
$E_2=x^3+5^3+z^3+3(x+5+z)(x5+xz+5z)-3x5z$
$E_2=x^3+125+z^3+3(x+5+z)(5x+xz+5z)-15xz$
Por lo tanto
$(x+5+z)^3=x^3+125+z^3+3(x+5+z)(5x+xz+5z)-15xz$
$(x+5+z)^3=$
$x^3+5^3+z^3+3(x+5+z)(5x+xz+5z)-3x5z$
IDENTIDADES CONDICIONALES
Sean $a, b$ y $c$ números reales
Caso 1
Si $a+b+c=0$, entonces $a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)$
Caso 2
Si $a+b+c=0$, entonces $a^3+b^3+c^3=3abc$
Caso 3
Si $a+b+c=0$, entonces, $(ab+ac+bc)^2=(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2$
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